1. Đường tròn lớn và đường tròn nhỏ
a. Hình cầu
là một vật thể giới hạn bởi một mặt bao gồm các điểm có khoảng cách
không đổi tới một điểm cố định , gọi là tâm của hình cầu . Đoạn thẳng
nối điểm bất kì trên mặt cầu với tâm được gọi là bán kính . Đoạn thẳng
đi qua tâm nối 2 điểm bất kì trên mặt cầu gọi là đường kính .

b. Giao tuyến của mặt cầu với một mặt phẳng là một đường tròn .


giả
sử AB là giao tuyến của mặt cầu với mặt phẳng nào đó , O là tâm hình
cầu . Kẻ OC vuông góc với mặt phẳng ; lấy D thuộc giao tuyến và nối OD ,
CD . Vì OC vuông góc với mặt phẳng nên góc OCD là góc vuông ; do đó CD =
(OD2 – OC2)^(1/2) . Do O và C cố định nên OC là hằng số ; OD cũng là
hằng số vì bằng bán kính hình cầu vậy nên CD cũng là hằng số . Như vậy
mọi điểm trên giao tuyến đều cách C một khoảng không đổi , tức C là tâm
của đường tròn giao tuyến .

c. Giao tuyến của mặt cầu với mặt phẳng được gọi là đường tròn lớn
nếu mặt phẳng đó đi qua tâm hình cầu , gọi là đường tròn nhỏ nếu mặt
phẳng không đi qua tâm hình cầu . Như vậy bán kính đường tròn lớn bằng
với bán kính hình cầu .

d. Trục của một đường tròn là đường kính của hình cầu vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn
; hai điểm đầu của đường kính gọi là các cực của đường tròn . Khoảng
cách từ các cực của đường tròn lớn đến mặt phẳng chứa đường tròn là bằng
nhau . Các cực của đường tròn nhỏ có khoảng cách khác nhau đến mặt
phẳng chứa đường tròn ; chúng được gọi tương ứng là cực gần và xa .


Trên
hình vẽ , EAB là một đường tròn lớn , vì mặt phẳng chứa nó đi qua tâm O
của hình cầu . Giả sử QOP là đường kính của hình cầu vuông góc với mặt
phẳng ( EAB ) . Lấy điểm R tùy ý trên OP , vẽ mặt phẳng qua R và song
song với ( EAB ) giao với hình cầu theo đường tròn nhỏ FCD . Các điểm P ,
Q là các cực của đường tròn lớn EAB và đường tròn nhỏ FCD .
Giả sử
PCAQ là đường tròn lớn đi qua các cực P , Q và cắt FCD , EAB lần lượt
tại C và A ; PDB là một cung của đường tròn lớn khác đi qua P , Q . Khi
đó ta nói tại P có 1 góc cầu và được xác định theo cách sau : Vẽ tiếp
tuyến PS , PT tương ứng với các cung PA , PB ; hiển nhiên PT song song
với OB , PS song song với OA . Góc SPT gọi là góc cầu tại P tạo bởi 2
cung đường tròn lớn PA , PB và nó bằng với góc AOB .

e. Khoảng cách từ các điểm trên đường tròn đến cực của nó luôn bằng nhau
. Giả sử O là tâm của hình cầu , AB là đường tròn bất kì , C là tâm , P
và P’ là các cực của đường tròn . Lấy D thuộc đường tròn ; nối CD , OD ,
PD . Khi đó PD = (PC*PC + CD*CD)^(1/2) ; PC và Cd không đỏi do đó PD
cũng không đổi . Giả sử có đường tròn lớn qua P và D thì dây cung PD
không đổi , tức là cung của đường tròn lớn nằm giữa P và D là hằng số
khi D chạy trên đường tròn AB .


f. Cung của đường tròn lớn tính từ cực tới bất kì điểm nào trên đường tròn bằng 90° .


Giả sử P là cực của đường tròn lớn ABC thì cung PA có số đo bằng 90° .
Thật vậy : dễ thấy PO vuông góc với (ABC) vì P là cực của (ABC) do đó góc POA bằng 90° , nghĩa là số đo PA bằng 90° .

g.
Góc trương ở tâm hình cầu của một cung đường tròn lớn nối các cực của 2
đường tròn lớn bằng góc giữa 2 mặt phẳng chứa các đường tròn đó .


Giả sử O là tâm của hình cầu , CD , CE là các đường tròn lớn giao nhau tại C , A và B lần lượt là các cực của CD , CE .
Vẽ
đường tròn lớn qua A và B , cắt CD , CE tại M và N . Khi đó AO vuông
góc với OC , Bo vuông góc với OC nên OC vuông góc với mặt phẳng (AOB) do
đó OC vuông góc với OM , ON . Như vậy MON là góc giữa 2 mặt phẳng (OCD)
và (OCE) . Hơn nữa :
AOB = AOM – BOM = BON – BOM = MON

h. Hai đường tròn lớn chia đôi nhau Vì mặt phẳng chứa các đường tròn lớn đi qua tâm của hình cầu
, tức là đường nối các giao điểm chính là đường kính của hình cầu và
mỗi đường tròn lớn chỉ có duy nhất một đường kính , do đó các đường tròn
đó được chia thành 2 phần bằng nhau bởi các giao điểm .

i.
Các đường tròn lớn đi qua các cực của một đường tròn lớn cho trước được
gọi là các đường tròn phái sinh (secondaries circle) . Trong
hình vẽ C là cực của ABMN , do đó CM và CN là các phần của các đường
tròn phải sinh ; góc giữa CM và CN bằng số đo cung MN ; như vậy , góc
giữa 2 đường tròn lớn bằng số đo cung chúng chắn trên đường tròn lớn mà
chúng là các đường tròn phái sinh .

j. Cung tròn trên mặt cầu
Hai
điểm A, B bất kì trên đường tròn sẽ chia đường tròn thành 2 cung . Cung
có số đo nhỏ hơn gọi là cung tròn nhỏ , cung có số đo lớn hơn gọi là
cung tròn lớn . Sau đây ta chỉ xét cung tròn nhỏ :


Cung
tròn nhỏ của đường tròn nhỏ trên mặt cầu được gọi là cung đường tròn
nhỏ (đôi khi gọi là cung cầu nhỏ) . Độ dài của cung cầu nhỏ AB kí hiệu
là lAB . Cung tròn nhỏ trên mặt cầu được gọi là cung đường tròn lớn (đôi
khi gọi là cung cầu lớn) . Độ dài của cung cầu lớn AB kí hiệu là LAB .

k.
Qua tâm và 2 điểm A, B tùy ý trên mặt cầu chỉ vẽ được duy nhất một mặt
phẳng (trừ trường hợp 2 điểm đó là các điểm đầu , và điểm cuối của đường
kính) , do vậy chỉ có duy nhất một cung cầu lớn qua 2 điểm A, B . Ngược lại , có vô số cung cầu nhỏ qua 2 điểm trên mặt cầu .
Định lý 1 : Đường đi ngắn nhất giữa 2 điểm trên mặt cầu là theo cung cầu lớn .

l. Số đo cung đường tròn nhỏ và số đo cung đường tròn lớn trương cùng một góc ở tâm
. Giả sử ab là cung đường tròn nhỏ , C là tâm đường tròn , P là cực , O
là tâm hình cầu . Qua P vẽ đường tròn lớn PaA và PbB , gặp đường tròn
lớn cực là P tại 2 điểm A, B ; nối Ca, Cb, OA , OB . Khi đó Ca , Cb , OA
, OB đểu vuông góc với OP vì mặt phẳng aCb , AOB vuông góc với OP nên
Ca song song với OA , Cb song song với OB .


Như vậy góc aCb bằng góc AOB , suy ra :
arcab / radiusCa = arcAB / radiusOA => arcab / arcAB = Ca / OA = Ca / Oa = sinPOa



2. Kinh độ và vĩ độ trên Trái Đất
Trong
nhiều bài toán thực tế Trái Đất được xem như 1 quả cầu tuyệt đối với
bán kính khoảng 6400 km , quay xung quanh 1 trục nối 2 cực từ trường
Trái Đất N, S . N gọi là cực bắc , S gọi là cực nam . Đường tròn lớn nằm
trong mặt phẳng vuông góc với NS gọi là xích đạo . Mặt phẳng chứa đường
xích đạo gọi là mặt phẳng xích đạo . Nó chia mặt cầu thành 2 bán cầu
gọi là bán cầu Bắc và bán cầu Nam .
Các mặt phẳng song song với mặt
phẳng xích đạo cắt mặt cầu theo giao tuyến là các đường tròn nhỏ , gọi
là các vĩ tuyến . Các vĩ tuyến ở bán cầu bắc gọi là vĩ tuyến bắc , ở bán
cầu Nam gọi là vĩ tuyến Nam .


Qua
2 cực Nam , Bắc có vô số các đường tròn lớn . Hai cực này chia các
đường tròn lớn thành 2 nữa , mỗi nữa đường tròn lớn gọi là 1 kinh tuyến .
Đặc biệt , kinh tuyến đi qua đài thiên văn Greenwich được qui ước là
kinh tuyến gốc ; trên hình đó là NGKS .
Giả sử kinh tuyến NHLS cắt
xích đạo tại L . Số đo góc KOL được gọi là kinh độ của kinh tuyến NHS .
Nó bằng số đo cung KL nằm trên xích đạo và bằng số đo góc cầu cực KNL .
Kinh độ kí hiệu là λ và được đo từ 0° đến 180° đông hoặc tây so với kinh
tuyến gốc ( theo hướng mũi tên gần K ) .
Trên hình kinh độ của NXS khoảng 100° E , kinh độ của NMS khoảng 60° W . Các điểm nằm trên cùng kinh tuyến thì có cùng kinh độ .
Qui ước :
Trái Đất quay từ Tây sang Đông ( W → E ) tức là khi một người đứng ở
tâm Trái Đất , đầu hướng về phía bắc nhìn về xích đạo thì chiều quay
ngược chiều kim đồng hồ .
Để xác định chính xác vị trí của 1 điểm
trên mặt cầu , ta cần xác định vị trí của điểm đó trên kinh tuyến qua nó
. Điều này được thực hiện nhờ tham chiếu đến xích đạo . Xét điểm J trên
kinh tuyến NHS . Kinh tuyến qua J cắt xích đạo tại L và số đo góc LỌ ,
hay cung tròn lớn LJ được gọi là vĩ độ của J , kí hiệu là φ . Nếu J nằm
giữa xích đạo và cực bắc N thì ta nói J có vĩ độ bắc (N) , nếu J nằm
giữa xích đạo và cực nam S thì ta nói J có vĩ độ nam (S) .
Mỗi điểm A trên mặt cầu Trái Đất được xác định duy nhất thông qua kinh độ λM và vĩ độ φM của nó .

Tam giác cầu

1. Khái quát về tam giác cầu
a. Tam giác cầu và các yếu tố cơ bản
-
Cho 3 điểm A, B, C trên mặt cầu tâm O bán kính R . Ta gọi phần mặt cầu
giới hạn bởi 3 cung tròn lớn AB, BC, AC là tam giác cầu ABC , các điểm
A, B, C được gọi là đỉnh của tam giác cầu .



-
Nối OA, OB, OC kéo dài ta được tam diện Oxyz đỉnh O . Các góc ở đỉnh
BOC = số đo BC = a , AOC = số đo AC = b , BOA = số đo AB = c là các cạnh
của tam giác cầu , viết tắt là a = BC , b = AC , c = AB .
- Giả sử
At là tiếp tuyến của AB tại A , At’ là tiếp tuyến của AC tại A ( các
tiếp tuyến hướng từ A về B, C ) ; khi đó tAt’ là góc tại đỉnh A của tam
giác cầu . Đó chính là góc nhị diện cạnh OA tạo bởi 2 mặt phẳng (OAC) và
(OBC) . Tương tự ta cũng xác định được 2 góc còn lại tại B và C . Vậy
tam giác cầu có 6 yếu tố cơ bản là : 3 cạnh a,b,c và 3 góc A, B, C đối
diện lần lượt với các cạnh .
- Qui ước : Số đo của các cạnh trong tam giác cầu luôn nhỏ hơn 180° hay π .




Trong
hình vẽ cung ADEB lớn hơn nửa vòng tròn, và có thể xem ADEB, AC và BC
là các cạnh của tam giác cầu với các góc là A, B, C . Tuy nhiên theo qui
ước trên ta không xét tam giác cầu loại này ; ở đây tam giác với các
góc A, B, C được hiểu là tam giác với 3 cạnh AFB, BC và CA .
- Với qui ước trên dễ dàng dẫn đến kết quả sau : trong tam giác cầu số đo của góc bất kì luôn nhỏ hơn 180° .
- Trung tuyến của tam giác cầu là cung tròn lớn nối đỉnh tam giác cầu với trung điểm cạnh đối diện với đỉnh ấy .
-
Đường vuông góc ( hay đường cao ) của tam giác cầu kẻ từ một đỉnh đến
cạnh đối diện là 1 cung tròn lớn nối đỉnh ấy với 1 điểm H trên cạnh đối
diện sao cho góc cầu cực tại H tạo bởi cung tròn lớn ấy và cạnh đối diện
là 90° . Trong tam giác cầu có thể có 2 hay 3 góc vuông và có thể có vô
số đường cao kẻ từ một đỉnh .
1/8 mặt cầu có 3 góc A = B = C = π/2 và 3 cạnh a = b = c = π/2 . Có vô số đường cao kẻ từ các đỉnh .

b. Tính chất của tam giác cầu
- Với mỗi tam giác cầu ABC có một góc tam diện đỉnh là tâm cầu O cạnh OA, OB, OC .
- Tổng 2 cạnh bất kì bao giờ cũng lớn cạnh còn lại, tức là : a + b > c , a + c > b , b + c > a.
- Tổng của 3 cạnh tam giác cầu luôn nhỏ hơn chu vi của đường tròn lớn .
Thật
vậy , tổng 3 góc tại đỉnh O của tam diện OABC luôn nhỏ hơn 360° , do đó
: AB/OA + BC/OA + CA/OA < 2π => AB + BC + CA < 2π x OA
- Tính chất các góc của tam giác cầu : π < A + B + C < 3π , A + B – C < π , A + C – B < π , B + C – A < π .
- Tổng 3 góc của tam giác cầu lớn hơn 180° và nhỏ hơn 540° .
Giả
sử A, B, C là các góc của tam giác cầu ; a’, b’, c’ là các cạnh của tam
giác cầu cực . Theo trên ta có : a’ + b’ + c’ < 2π tương đương π - A
+ π - B + π – C < 2 π tương đương A + B + C > π . Vì mỗi góc A,
B, C đều nhỏ hơn π nên A + B + C < 3π .
- Đại lượng e = A + B + C –
π là thặng dư cầu . Khi đó với tam giác cầu ABC trên mặt cầu bán kính R
thì diện tích tam giác cầu SABC cầu = e.R.R ( e đo bằng radian ) .
- Trong tam giác cầu đối điện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn và ngược lại , tức là a > b tương đương A > B .

c. Tam giác cầu cực
-
Tam giác cầu cực . Cho ABC là một tam giác cầu , A’ là cực của BC cùng
phía với A, B’ là cực của CA cùng phía với B, C’ là cực của AB và nằm
cùng phía với C . Khi đó A’B’C’ được gọi là tam giác cầu cực của ABC .
Chú ý :
Vì mỗi cạnh của tam giác cầu đều có 2 cực , do đó sẽ có 8 tam giác cầu
được tạo nên bởi các đỉnh là các cực đó . Tuy nhiên chỉ có tam giác
A’B’C’ tạo bởi qui tắc trên được gọi tam giác cầu cực . Tam giác ABC gọi
là tam giác gốc tương ứng với tam giác A’B’C’ .
- Nếu A’B’C’ là tam giác cầu cực của ABC thì ABC là tam giác cầu cực của A’B’C’ .



- Các cạnh và các góc của tam giác cầu cực lần lượt là phần bù của các góc và các cạnh của tam giác gốc .
Giả
sử B’C’ cắt AB, AC lần lượt tại D và E . Do A là cực của B’C’ nên số đo
góc tại A bằng số đo DE . Hơn nữa B’E , C’D đều có số đo bằng 90° , do
đó số đo DE + B’C’ bằng 180° , tức là góc trương B’C’ tại tâm cầu và góc
A là bù nhau . Có thể chỉ ra C’A’ là phần bù của B, A’B’ là phần bù của
C theo cách tương tự .
Do ABC là tam giác cầu cực của A’B’C’ nên cũng dễ dàng suy ra BC , CA , AB là phần bù của A’ , B’ , C’ .
Nếu
kí hiệu A, B, C , a, b, c lần lượt là các góc và các cạnh của tam giác
cầu ABC còn A’, B’, C’ , a’, b’, c’ là các góc và các cạnh của tam giác
cầu cực thì ta có :
A’ = π - a , B’ = π – a , C’ = π – c , a’ = π – A , b’ = π – B , c’ = π – C .
- Tam giác cầu cân có các góc ở đáy bằng nhau
Giả
sử tam giác ABC có AC = BC , O là tâm hình cầu . Kẻ tiếp tuyến tại A và
B tương ứng với cung AC và cung BC ; chúng cùng cắt OC tại điểm S , dễ
thấy AS = BS .



Kẻ
tiếp tuyến AT , BT tại A và B với cung AB ; khi đó AT = TB ; nối T với S
. Xét tam giác SAT , SBT có SA , AT , TS lần lượt bằng SB , BT , TS ;
do đó hai tam giác bằng nhau , từ đó suy ra các góc ở đáy của tam giác
cầu bằng nhau .
- Nếu hai góc của một tam giác cầu bằng nhau thì hai cạnh đối diện bằng nhau.
Vì
tam giác gốc có hai góc bằng nhau nên tam giác cầu cực sẽ có hai cạnh
bằng nhau . Theo trên trong tam giác cầu cực 2 góc đôi diện với cạnh đó
sẽ bằng nhau . Vậy suy ra trong tam giác gốc 2 cạnh đối diện với hai góc
bằng nhau là bằng nhau .
- Trong tam giác cầu cạnh đối diện với góc lớn hơn là góc lớn hơn .
Giả
sử trong tam giác cầu ABC , góc ABC lớn hơn góc BAC : khi đó cạnh AC
lớn hơn cạnh BC . Từ B ta kẻ BD sao cho góc ABD bằng góc BAD , tức là BD
= AD và BD + DC > BC ; do đó AD + DC > BC => AC > BC .



- Trong tam giác cầu góc đối diện với cạnh lớn hơn là lớn hơn

Tam giác cầu

2. Các định lý cơ bản
a. Định lý hàm sin
Trong tam giác cầu ABC thì :
sin a / sin A = sin b / sin B = sin c / sin C

b. Định lý cosin thứ nhất
Trong tam giác cầu ABC thì :
cos a = cos b . cos c + sin b . sin c . cos A
cos b = cos a . cos c + sin a . sin c . cos B
cos c = cos a . cos b + sin a . sin b . cos C

c. Hướng tàu
- Quy ước đường trục tàu là đường thẳng từ lái đến mũi tàu .
-
Giả sử một tàu khởi hành từ A đến B . Gọi góc của tiếp tuyến với kinh
tuyến tại A hướng về cực bắc và tiếp tuyến cung tròn lớn AB tại A tính
theo chiều thuận kim đồng hồ là hướng chuyển động của tàu , kí hiệu là
HTA , 0 ≤ HTA < 3600 .
- Các trường hợp riêng :
+ Nếu 0 ≤ HTA < 90° : Hướng Đông Bắc .
+ Nếu 90° < HTA < 180° : Hướng Đông Nam .
+ Nếu 180° < HTA < 270° : Hướng Tây Nam .
+ Nếu 270° < HTA < 360° : Hướng Tây Bắc .

d. Định lý hàm cosin thứ hai
Trong tam giác cầu ABC thì :
cos A = sin B . sin C . cos a – cos B . cos C
cos B = sin A . sin C . cos b – cos A . cos C
cos C = sin A . sin B . cos c – cos A . cos B

e. Định lý hàm số cotag
Trong
một tam giác cầu ta xét 4 yếu tố liên tiếp gồm 2 cạnh , một góc xem
giữa 2 cạnh ấy và góc đối diện với cạnh thứ nhất trong hai cạnh , tức là
viết theo thứ tự : cạnh , góc , cạnh , góc đối diện cạnh thứ nhất ,
chẳng hạn : aBcA , cBaC , aCbA …



Trong tam giác cầu ABC ứng với 4 yếu tố liên tiếp aBcA thì :
cotg a . sin c – sin B . cotg A = cos c . cos B

Tam giác cầu

3. Các công thức theo góc , cạnh chia đôi
a. Công thức góc chia đôi
tan (A/2) = [sin (p-b) . sin (p-c) / (sin p . sin (p-a))]^(1/2)
tan (B/2) = [sin (p-a) . sin (p-c) / (sin p . sin (p-b))]^(1/2)
tan (C/2) = [sin (p-a) . sin (p-b) / (sin p . sin (p-c))]^(1/2)
với p = (a+b+c) / 2



b. Công thức tổng hai góc chia đôi , hiệu hai góc chia đôi
tan ((A+B)/2) = cos ((a-b)/2) . cotg (C/2) / cos ((a+b)/2)
tan ((A+C)/2) = cos ((a-c)/2) . cotg (B/2) / cos ((a+c)/2)
tan ((B+C)/2) = cos ((b-c)/2) . cotg (A/2) / cos ((b+c)/2)


4. Giải tam giác cầu
a. Khái quát chung
Bài
toán : Tam giác cầu có 6 yếu tố cơ bản là 3 cạnh a , b , c , 3 góc A , B
, C . Tam giác cầu hoàn toàn xác định khi biết 3 trong 6 yếu tố cơ bản
ấy . Giải tam giác cầu tức là xác định 6 yếu tố cơ bản của tam giác cầu
khi biết các giả thiết về tam giác cầu ấy . Khi giải tam giác cầu thường
đưa về giải các phương trình lượng giác có vô số nghiệm , do đó ta phải
lựa chọn nghiệm thích hợp với điều kiện của tam giác cầu , phù hợp với
thực tế của bài toán đặt ra . Khi đó ta dựa vào các điều kiện : 0 <
a,b,c < π ; |a-b|< b c
; c < a b ; b < a c ; 0 < a b c < 2 π ; π < A B
C < 3 π ; A B – C < π ; B C – A < π ; A C – B < π .
Dạng
cơ bản : Giải tam giác cầu biết 3 cạnh ( hay 3 góc ) ; Giải tam giác
cầu biết 2 cạnh và góc xen giữa 2 cạnh ấy ; Giải tam giác cầu biết 2
cạnh và 1 góc đối diện với một trong 2 cạnh ấy .
Phương pháp : Ta thường sử dụng 2 phương pháp để giải các bài toán trên . Giải trực tiếp và giải gián tiếp .
- Giải trực tiếp : dựa vào các yếu tố đã cho tính trực tiếp các yếu tố chưa biết mà không cần thông qua các yếu tố trung gian .
- Giải gián tiếp : Đưa về giải tam giác cầu cực , tính các yếu tố qua các kết quả trung gian ( thường mắc sai số tích lũy ) .

b. Giải tam giác cầu khi biết 3 cạnh :
Cho tam giác cầu ABC biết 3 cạnh a , b , c cần tính 3 góc A, B, C ?
Ta có thể tính trực tiếp từ định lý cosin thứ nhất :
cos A = [(cos a – cos b . cos c) / (sin b . sin c)]
Hay tính gián tiếp có thể sử dụng logarit theo :
Tan (A/2) = [(sin (p-b) . sin (p-c) / ( sin p . sin (p-a))]
Các góc khác cũng được tính tương tự .
Chú
ý : Với tam giác cầu biết 3 góc A, B, C ta đưa về giải tam giác cầu
trực đối biết a’ = π - A , b’ = π - B , c’ = π - C được A’, B’, C’ từ đó
suy ra : a = π – A’ , b = π – B’ , c = π – C’ .

c. Giải tam giác cầu khi biết 2 cạnh và góc xen giữa 2 cạnh ấy
Cho tam giác cầu ABC với giả thiết a, b, C . Tính A, B, c ?
Theo định lý cosin thứ nhất : cos c = cos a . cos b sin a . sin b . cos C .
Theo định lý hàm cotag ta có :
cotg A . sin b – sin C . cotg A = cos b . cos C → cotg A = (cotg a . sin b – cos b . cos C) / sin C .
Hoàn toàn tương tự : cotg B = (cotg b . sin a – cos a . cos C) / sin C .
Để tính bằng logarit ta dựa trên công thức :
tan ((A B)/2) = cos ((a-b)/2) . cotg (C/2) / (cos (a b)/2)
tan ((A - B)/2) = sin ((a-b)/2) . cotg (C/2) / (sin (a b)/2)



rút ra : A B = α và A – B = β
Hay từ cos c = cos a . cos b sin a . sin b . cos C ( 0 < b < π )
Xét b ≠ π/2 ta có thể viết :
cos c / cos b = cos a sin a . tan b . cos C
Đặt
tan b . cos C = tan α . Ta có : cos c / cos b = cos a sin a . tan α
hay cos c / cos b = (cos a . cos α sin a . sin α) / cos α
Sau khi tính α ta được : cos c = cos b . cos ( a – α) / cos α
Trường hợp nếu biết 1 cạnh và 2 góc kề với cạnh ấy :
Giả sử biết a , B , C ta có thể tính trực tiếp hay gián tiếp qua tam giác cầu trực đối A’B’C’ .
Khi
đó biết : A’ = π - a , b’ = π - B , c’ = π – C . Theo cách tính ở trên
ta được a’, B’, C’, từ đó suy ra : A = π - a’ , b = π - B’ , c = π - C’ .

d. Giải tam giác cầu biết 2 cạnh và một góc đối diện với một trong 2 cạnh ấy
Cho tam giác cầu ABC . Giả sử biết 2 cạnh a , b và góc A . Tính B, c, C ?
Giải :
Theo định lý hàm sin : sin B / sin b = sin A / sin a → sin B = sin b . sin A / sin a .
Cách 1 : Với 4 yếu tố a , C , b , A nên theo định lý cotg ta có : cotg a . sin b – sin b . cotg A = cos b . cos C .
Xét b ≠ π/2 : cotg a . sin b / cos b = sin C . cotg A / cos b cos C .
Đặt
tan α = cotg A / cos b ta có sin b . cotg a / cos b = sin C . tan α
cos C = cos (C – α) / cos α → cos ( C – α) = cos α . cotg a . tan b .
Từ đó tìm được C – α , rồi C và sử dụng sin c = sin C . sin α / sin A suy ra c .
Cách 2 : Có thể tìm C và c theo :



Chú ý :
Khi giải phương trình sin x = y ta có 2 nghiệm 0 < α , π-α<π .
Ta có thể lấy 2 nghiệm hay một nghiệm tùy theo các nghiệm ấy có thỏa mãn
các điều kiện của tam giác cầu hay không ? Các bài toán thực tế chỉ có
một nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện của tam giác cầu . Ngoài ra cùng
một yếu tố cần xác định có thể giải bằng 2 cách khác nhau và lấy nghiệm
chung của hai cách ấy .

e. Giải tam giác cầu biết 2 góc và một cạnh đối diện với một trong 2 góc ấy
Cho tam giác cầu ABC . Giả sử biết 2 góc A, B và cạnh a . Tính b , c , C ?
Giải :
Theo định lý hàm sin ta có thể tìm được b :
sin b = sin B . sin a / sin A
Sau đó tìm C và c theo các công thức sau :



Ta cũng có thể tìm C độc lập với b bằng cách sử dụng công thức :
cos A = - cos B . cos C sin B . sin C . cos a = cos B . ( - cos C tan B . sin C . cos a )
Đặt cotg α = tan B . cos a ta có :
cos A = cos B . ( - cos C sin C . cotg α ) = cos B . sin (C – α) / sin α → sin (C – α) = cos A . sin α / cos B .
Từ đó tìm được C – α , rồi suy ra C .

[You must be registered and logged in to see this link.]

Tam giác cầu

3. Các công thức theo góc , cạnh chia đôi
a. Công thức góc chia đôi
tan (A/2) = [sin (p-b) . sin (p-c) / (sin p . sin (p-a))]^(1/2)
tan (B/2) = [sin (p-a) . sin (p-c) / (sin p . sin (p-b))]^(1/2)
tan (C/2) = [sin (p-a) . sin (p-b) / (sin p . sin (p-c))]^(1/2)
với p = (a+b+c) / 2



b. Công thức tổng hai góc chia đôi , hiệu hai góc chia đôi
tan ((A+B)/2) = cos ((a-b)/2) . cotg (C/2) / cos ((a+b)/2)
tan ((A+C)/2) = cos ((a-c)/2) . cotg (B/2) / cos ((a+c)/2)
tan ((B+C)/2) = cos ((b-c)/2) . cotg (A/2) / cos ((b+c)/2)

4. Giải tam giác cầu
a. Khái quát chung
Bài
toán : Tam giác cầu có 6 yếu tố cơ bản là 3 cạnh a , b , c , 3 góc A , B
, C . Tam giác cầu hoàn toàn xác định khi biết 3 trong 6 yếu tố cơ bản
ấy . Giải tam giác cầu tức là xác định 6 yếu tố cơ bản của tam giác cầu
khi biết các giả thiết về tam giác cầu ấy . Khi giải tam giác cầu thường
đưa về giải các phương trình lượng giác có vô số nghiệm , do đó ta phải
lựa chọn nghiệm thích hợp với điều kiện của tam giác cầu , phù hợp với
thực tế của bài toán đặt ra . Khi đó ta dựa vào các điều kiện : 0 <
a,b,c < π ; |a-b|< b c
; c < a b ; b < a c ; 0 < a b c < 2 π ; π < A B
C < 3 π ; A B – C < π ; B C – A < π ; A C – B < π .
Dạng
cơ bản : Giải tam giác cầu biết 3 cạnh ( hay 3 góc ) ; Giải tam giác
cầu biết 2 cạnh và góc xen giữa 2 cạnh ấy ; Giải tam giác cầu biết 2
cạnh và 1 góc đối diện với một trong 2 cạnh ấy .
Phương pháp : Ta thường sử dụng 2 phương pháp để giải các bài toán trên . Giải trực tiếp và giải gián tiếp .
- Giải trực tiếp : dựa vào các yếu tố đã cho tính trực tiếp các yếu tố chưa biết mà không cần thông qua các yếu tố trung gian .
- Giải gián tiếp : Đưa về giải tam giác cầu cực , tính các yếu tố qua các kết quả trung gian ( thường mắc sai số tích lũy ) .

b. Giải tam giác cầu khi biết 3 cạnh :
Cho tam giác cầu ABC biết 3 cạnh a , b , c cần tính 3 góc A, B, C ?
Ta có thể tính trực tiếp từ định lý cosin thứ nhất :
cos A = [(cos a – cos b . cos c) / (sin b . sin c)]
Hay tính gián tiếp có thể sử dụng logarit theo :
Tan (A/2) = [(sin (p-b) . sin (p-c) / ( sin p . sin (p-a))]
Các góc khác cũng được tính tương tự .
Chú
ý : Với tam giác cầu biết 3 góc A, B, C ta đưa về giải tam giác cầu
trực đối biết a’ = π - A , b’ = π - B , c’ = π - C được A’, B’, C’ từ đó
suy ra : a = π – A’ , b = π – B’ , c = π – C’ .

c. Giải tam giác cầu khi biết 2 cạnh và góc xen giữa 2 cạnh ấy
Cho tam giác cầu ABC với giả thiết a, b, C . Tính A, B, c ?
Theo định lý cosin thứ nhất : cos c = cos a . cos b sin a . sin b . cos C .
Theo định lý hàm cotag ta có :
cotg A . sin b – sin C . cotg A = cos b . cos C → cotg A = (cotg a . sin b – cos b . cos C) / sin C .
Hoàn toàn tương tự : cotg B = (cotg b . sin a – cos a . cos C) / sin C .
Để tính bằng logarit ta dựa trên công thức :
tan ((A B)/2) = cos ((a-b)/2) . cotg (C/2) / (cos (a b)/2)
tan ((A - B)/2) = sin ((a-b)/2) . cotg (C/2) / (sin (a b)/2)



rút ra : A B = α và A – B = β
Hay từ cos c = cos a . cos b sin a . sin b . cos C ( 0 < b < π )
Xét b ≠ π/2 ta có thể viết :
cos c / cos b = cos a sin a . tan b . cos C
Đặt
tan b . cos C = tan α . Ta có : cos c / cos b = cos a sin a . tan α
hay cos c / cos b = (cos a . cos α sin a . sin α) / cos α
Sau khi tính α ta được : cos c = cos b . cos ( a – α) / cos α
Trường hợp nếu biết 1 cạnh và 2 góc kề với cạnh ấy :
Giả sử biết a , B , C ta có thể tính trực tiếp hay gián tiếp qua tam giác cầu trực đối A’B’C’ .
Khi
đó biết : A’ = π - a , b’ = π - B , c’ = π – C . Theo cách tính ở trên
ta được a’, B’, C’, từ đó suy ra : A = π - a’ , b = π - B’ , c = π - C’ .

d. Giải tam giác cầu biết 2 cạnh và một góc đối diện với một trong 2 cạnh ấy
Cho tam giác cầu ABC . Giả sử biết 2 cạnh a , b và góc A . Tính B, c, C ?
Giải :
Theo định lý hàm sin : sin B / sin b = sin A / sin a → sin B = sin b . sin A / sin a .
Cách 1 : Với 4 yếu tố a , C , b , A nên theo định lý cotg ta có : cotg a . sin b – sin b . cotg A = cos b . cos C .
Xét b ≠ π/2 : cotg a . sin b / cos b = sin C . cotg A / cos b cos C .
Đặt
tan α = cotg A / cos b ta có sin b . cotg a / cos b = sin C . tan α
cos C = cos (C – α) / cos α → cos ( C – α) = cos α . cotg a . tan b .
Từ đó tìm được C – α , rồi C và sử dụng sin c = sin C . sin α / sin A suy ra c .
Cách 2 : Có thể tìm C và c theo :



Chú ý :
Khi giải phương trình sin x = y ta có 2 nghiệm 0 < α , π-α<π .
Ta có thể lấy 2 nghiệm hay một nghiệm tùy theo các nghiệm ấy có thỏa mãn
các điều kiện của tam giác cầu hay không ? Các bài toán thực tế chỉ có
một nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện của tam giác cầu . Ngoài ra cùng
một yếu tố cần xác định có thể giải bằng 2 cách khác nhau và lấy nghiệm
chung của hai cách ấy .

e. Giải tam giác cầu biết 2 góc và một cạnh đối diện với một trong 2 góc ấy
Cho tam giác cầu ABC . Giả sử biết 2 góc A, B và cạnh a . Tính b , c , C ?
Giải :
Theo định lý hàm sin ta có thể tìm được b :
sin b = sin B . sin a / sin A
Sau đó tìm C và c theo các công thức sau :



Ta cũng có thể tìm C độc lập với b bằng cách sử dụng công thức :
cos A = - cos B . cos C sin B . sin C . cos a = cos B . ( - cos C tan B . sin C . cos a )
Đặt cotg α = tan B . cos a ta có :
cos A = cos B . ( - cos C sin C . cotg α ) = cos B . sin (C – α) / sin α → sin (C – α) = cos A . sin α / cos B .
Từ đó tìm được C – α , rồi suy ra C .


5. Tam giác cầu vuông
a. Tam giác cầu vuông
Là tam giác cầu có ít nhất một góc bằng 90° .
Tam giác cầu vuông có thể có 1, 2 hoặc 3 góc vuông .
Qui ước tam giác cầu vuông với A = 90° thì BC là cạnh huyền , AB và AC là cạnh góc vuông .
- Các công thức nhận được :
Giả sử A = π/2 => cos A = 0 theo định lý cosin thứ nhất ta có : cos a = cos b . cos c
- Theo định lý cosin thứ hai :
cos A = sin B . sin C . cos a – cos B . cos C => cos a = cotg B . cotg C
cos B = sin A . sin C . cos b – cos A . cos C => cos B = sin C . cos b
- Hoàn toàn tương tự ta cũng có :
cos C = sin B . cos c
- Áp dụng định lý cotg với bACB :
cotg b . sin c – sin A . cotg B = cos c . cos A => cotg b . sin c – cotg B = 0 => sin c = cotg B . tan b
- Tương tự ta có : sin b = cotg C . tan c
- Áp dụng định lý cotg với aBcA trong đó cotg A = 0 ta có :
cotg a . sin c – sin B . cotg A = cos c . cos B => cotg a . sin c = cos c . cos B => cos B = cotg a . tan c
- Tương tự ta có : cos C = cotg a . tan b
- Áp dụng định lý hàm sin với sin A = 1 ta được :
sin b / sin B = sin c / sin C = sin a / sin A = sin a
Suy ra sin b = sin a . sin B ; sin c = sin a . sin C

b. Hai qui tắc dễ nhớ của Nepe :
Cho
tam giác cầu vuông ABC với C = 90° . Ta sắp xếp 5 yếu tố sau trong một
hình tròn theo thứ tự : a, b , 90° – A , 90° – c , 90° – B . Nếu ta bắt
đầu từ một yếu tố nào đó thì đó được gọi là yếu tố giữa , hai yếu tố bên
cạnh gọi là các yếu tố kề , hai yếu tố còn lại là các yếu tố đối .



Qui tắc Nepe được phát biểu như sau :
sin ( yếu tố giữa ) = tích của tang các yếu tố kề ;
sin ( yếu tố giữa ) = tích của cosin các yếu tố đối

[You must be registered and logged in to see this link.]